#1
|
|||
|
|||
![]() الفرق بين مربعين رياضيات الصف التاسع عرفت من دراستك السابقة أن المربع شكل أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه قوائم , وأن المستطيل هو شكل رباعي زواياه قوائم وكل ضلعين متقابلين فيه متساويان . 1. غرفة مربعة الشكل طول ضلعها 5 م كم مساحتها ؟ 2. غرفة مستطيلة الشكل طولها 5 م وعرضها 4 م , كم مساحتها ؟ تحليل الفرق بين مربعين : 1. ارسم على ورق المربعات مربعاً طول ضلعه س سم ( كما في الشكل ) , كم مساحته ؟ 2. عند أحد رؤوسه ( كما في الشكل ) ارسم مربعاًُ طول ضلعه ص سم . كم مساحة المربع الصغير الجديد ؟ 3. قص المربع الصغير من الشكل ؟ كم مساحة الشكل المتبقي بدلالة س2 , ص2 ؟ اكتبها . 4. اقسم الشكل المتبقي إلى مستطيلين , إما برسم خط بالمسطرة أو قصه بمقص أجب عما يلي من أسئلة بدلالة س و ( أو ) ص . 5. كم طول المستطيل الاول ؟ 6. كم عرض المستطيل الأول ؟ 7. كم مساحة المستطيل الأول ؟ 8. أجب عن اسئلة مشابهة للسابقة بالنسبة للمستطيل الثاني ؟ 9. كم مساحة المستطيلين معاً ؟ مساحة المستطيل الأول + مساحة المستطيل الثاني 10. لكن مساحة المستطيلين = س2 ـ ص2 ( الفرق بين مساحة المربعين ). إذن س2 ـ ص2 = س ( س ـ ص) + ص ( س ـ ص) وبأخذ العامل المشترك وهو ( س ـ ص) إذن س2 ـ ص2 = ( س ـ ص) ( س + ص) ولو كررت العمل على مربعات أخرى لحصلت على النتيجة ذاتها. إذن الفرق بين مساحتي مربعين = مساحة مستطيل طوله = مجموع طولي المربعين وعرضه = الفرق بين طوليهما . أي أن س2 ـ ص2 = ( س + ص) ( س ـ ص) وبالتحليل : س2 ـ ص2 = ( س ـ ص ) (س + ص) تحليل الفرق بين مكعبين تعرف من دراستك السابقة ومن خبراتك في الحياة وجود شكل نسميه المكعب ، فخزان الماء الذي طوله = عرضه = ارتفاعه = 1م ، هو خزان مكعب الشكل يتسع لمتر مكعب واحد من الماء لأن حجم المكعب (طول ضلعه)3 وفي مثالنا (1م)3 = 1م × 1م × 1م = 1م3 وإذا كان في أحد المنازل بئر ماء مكعب طوله 5م فإن حجم البئر = (5م)3= 5م × 5م × 5م = --- م3. جد الجواب الحسابي بنفسك . وإذا كان حجم مكعب = 64سم3 فكيف نحسب طول ضلعه ؟ لا شك أنك تذكر هذه العلامة إنها الجذر التكعيبي ، فإذا أردنا أن نعرف طول المكعب في حالتنا نأخذ الجذر التكعيبي للحجم : تذكر أن سم3 تعني سم × سم × سم وبالتالي فإن جذرها التكعيبي هو سم . سؤال : مكعب طول ضلعه 10 سم ومكعب آخر طول ضلعه 5 سم ، كم الفرق بين حجميهما ؟ كم حجم المكعب الأول ؟ الجواب : (10 سم)3 = 10 سم × 10 سم × 10 سم = 1000 سم3 كم حجم المكعب الثاني ؟ الجواب : (5 سم)3 = 5 سم × 5 سم × 5 سم = 125 سم3 الفرق بين حجميهما = 1000 – 125 = 875 سم3 ويمكن أن نعبر عن الفرق بين الحجمين بطريقة أخرى هي : الفرق بين حجمي المكعبين = حجم المكعب الأول – حجم المكعب الثاني = (10)3 – (5)3 = 875 سم3 (كما وجدنا أعلاه) لقد وجدنا قبل قليل وعن طريق العملية الحسابية المباشرة أن (10)3 – (5)3 = 875 ، ويمكنك أن تجد بسهولة أن : (2)3 – (1)3 = 7 ، وأن (5)3 – (4)3 = 61 ... الخ . ولكن ما هي الطرق الأخرى لإيجاد الفرق بين مكعبين ؟ جواباً على هذا نقول هنالك أكثر من طريقة اكتشفها الإنسان ومنها تحليل هذا المقدار إلى عوامله ، وهذا ما سنحاول إثباته من أمثلة حقيقية . مثال (1) : (2)3 – (1)3 = (2 × 2 × 2) – (1 × 1 × 1) مكعب العدد (2) – مكعب العدد (1) = 8 – 1 = 7 لنقارن هذه النتيجة مع حاصل ضرب القوسين التاليين : (2 – 1) (2 2 + (2 × 1) + 1 2) = (1) (4 + 2 + 1) = 1 × 7 = 7 النتيجة : إن مقدار الفرق بين مكعبين يحلل إلى قوسين مضروبين في بعضهما ، يحوي الأول منهما حدان هما : ويحوي القوس الثاني ثلاثة حدود هي (أكمل الفراغات في العبارة) مربع الجذر التكعيبي للحد الأول + الجذر التكعيبي للحد الأول × ____ + مربع الجذر التكعيبي _____ وبالتعبير الرياضي العام أ 3 – ب 3 = ( أ – ب ) ( أ 2 + أ ب + ب 2 ) تدريبات : حلل المقادير التالية إلى عواملها الأولية : 1) 8 س3 – 27 ص3 2) ع3 – 64 ل3 3) (15)3 – (10)3 أوجد القيمة العددية 4) (20)3 – (17)3 أوجد القيمة العددية 5) (35)3 – (25)3 أوجد القيمة العددية عالجنا في الدرس السابق تحليل المقدار س3 ـ ص3 أي الفرق بين مكعبين, وقد تبين لنا أنه يمكن تحليله إلى قوسين فماذا عن مجموع مكعبين مثلاً ماذا عن تحليل س3 + ص3 ؟ إن هذا المقدار قابل للتحليل أيضاً كما سنشاهد تالياً . تحليل مجموع المكعبين : حتى تتعرف على قوسي تحليل مجموع المكعبين سندرس أمثلة عددية بسيطة تساعدنا في معرفة الأمر وتذكره على المدى الطويل . 1. من السهل عليك أن تحسب (1)3 + (2)3 شفهياً فهي تساوي 9 , ولكن لنلاحظ أنه يمكن الحصول على النتيجة بطريقة أخرى غير الطريقة المباشرة . (1)3 + (2)3 = = ( 1 + 2 ) ( 1 ـ 2 + 4) = 3 × 3 = 9 2. احسب مقدار (5)3 + (4)3 الطريقة المباشرة = ( 5 × 5 × 5) + ( 4 × 4 × 4 ) = 125 + 64 = 189 طريقة التحليل = (5)3 + (4)3 = ( 5 + 4) ( 25 ـ ( 5 × 4 ) + 24 ) = (9) (25 ـ 20 + 16) = 9 × 21 = 189 3. احسب مقدار (15)3 + ( 20)3 الطريقة المباشرة = (15 × 15 × 15 ) + ( 20 × 20 × 20 ) = 3375 + 8000 = 11375 طريقة التحليل = (15)3 + (20 )3 = ( 15 + 20 ) ( 215 ـ ( 15 × 20 ) + 220 ) = ( 35) ( 225 ـ 300 + 400) = 35 × 325 = 11375 نتيجة : ويحتوي القوس الثاني على مربع الجذر التكعيبي للحد _________ + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الاول في الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحد ــــــــــــ يمكنك بسهول إكمال فراغات العبارة السابقة . لنلاحظ الآن أن : أ3 ـ ب3 = ( أ ـ ب) ( أ2 + أب + ب2) وأن أ3 + ب3 = ( أ + ب ) ( أ2 ـ أ ب + ب2) عندما تكون العبارة فرق مكعبين تكون إشار حاصل ضرب الجذرين موجبة . وعندما تكون العبارة مجموع مكعبين تكون إشارة حاصل ضرب الجذرين سالبة . درست في دروس سابقة أن العبارة التربيعية س2 + 6س + 9 هي مربع كامل وتحليلها هو (س + 3) إذا كانت العبارة التربيعية مربعاً كاملاً أم لا ؟ وعلى سبيل تذكيرك عليك أن تجيب عن السؤال التالي لوحدك. ـ أي العبارات التالية مربعاً كاملاً وأيها ليست كذلك ؟ اقترح إضافة أو طرح حدود مناسبة لجعل ما هو ليس مربعاً كاملاً منها يتحول إلى مربع كامل . 1) س2 + 10س + 25 2) 16ع2 ـ 24ع ل + 9ل2 3) س2 + س ص + ص2 4) 49ك2 ـ 74 ك ص + 25 ص2 5) 4س4 ـ 100 س2 م2 + 81 م4 تحليل العبارة التربيعية بإكمال المربع : تبدو الكثير من العبارات التربيعية ( التي اتفقنا على إعطائها الشكل العام أس2 + ب س + ج) غير قابلة للتحليل للوهلة الأولى , ولكن بعد التمعن فيها وإجراء بعض التغييرات على شكلها ( دون تغيير قيمتها) نجد أن تحليلها أصبح ممكناً . ادرس العبارة 16ب4 + 4ب2 + 1 ومظهرها يدل على أنها غير قابلة للتحليل , ولكنها في واقع الأمر عبارة تربيعية قابلة للتحليل , وقد أشرنا إلى ذلك في الدرس الثامن حيث ورد في السؤال رقم (1) من التقويم فرع (3) طلب تحليل العبارة 64ب6 ـ 1 ونعيد تحليل هذه العبارة بعدة طرق . الطريقة الأولى : تحليل العبارة على أنها فرق بين مربعين 1) 64ب6 ـ 1 = ( 8ب3 ـ 1)(8ب3 + 1) لقد أدت هذه الخطوة إلى ظهور عبارة جديدة مكونة من قوسين يحوي الاول فرق بين مكعبين ويحوي الثاني مجموع مكعبين وكلاهما قابل للتحليل , إذن : 2) 64ب6 ـ 1 = (8ب3 ـ 1)(8ب3 + 1) = (2ب ـ1)(4ب2 + 2ب + 1)(2ب+ 1)(4ب2 ـ 2ب + 1) لقد انتهت عملية التحليل وحصلنا على أربعة أقواس مضروبة في بعضها وهي ( بعد إعادة ترتيبها ) = (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(4ب2 +2ب + 1)(4ب2 ـ 2ب + 1) الطريقة الثانية : نبدأ بتحليل العبارة 64ب6 ـ 1 على أساس أنها فرق بين مكعبين وهي حقاً كذلك : 1) 64ب6 ـ 1 = (4ب2 ـ 1)(16ب4 + 4ب2 + 1) لقد أدت هذه الخطوة إلى ظهور قوسين الأول منهما مكون من فرق بين مربعين قابل للتحليل , والثاني عبارة تربيعية غير قابلة للتحليل ( ظاهرياً ) , لننتقل الآن إلى الخطوة (2) وهي متابعة التحليل . 2)64ب6 ـ 1 = (4ب2 ـ 1)(16ب4 + 4ب2 + 1) = ( 2ب ـ 1)(2ب + 1)(16ب4 + 4ب2 + 1) وهكذا حصلنا نتيجة هذه الطريقة على تحليل جديد للمقدار 64ب6 ـ 1 يتكون من ثلاثة أقواس , فكيف حدث هذا ؟؟ هل للعبارة تحليلان مختلفان ؟ الطريقة الثالثة : لقد تبين أن : 1)64ب6 ـ 1 = (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(4ب2 + 2ب + 1) (4ب2 ـ 2ب + 1) 2) 64ب6 ـ 1= (2ب ـ 1)(2ب+ 1)(16ب4 + 4ب2 + 1) إذن لا شك أن : (16ب4 + 4ب2 + 1) = (4ب2 + 2ب + 1)(4ب2 ـ 2ب + 1) إذن العبارة 16ب4 + 4ب2 + 1 عبارة تربيعية قابلة للتحليل في قوسين هما : (4ب2 + 2ب+ 1)(4ب2 ـ 2ب+ 1) , ولكن هذه العبارة التي تبدو وكأنها مربعاً كاملاً ليست كذلك , فماذا ينقصها حتى تصبح مربعاً كاملاً قابلاً للتحليل في قوسين متشابهين ؟ جرب الإجابة على هذا السؤال بنفسك قبل متابعة الخطوة التالية : 3) 16ب4 + 4ب2 + 1 + 4ب2 ـ 4ب2 لقد أضفنا وطرحنا 4ب2 للعبارة أي أننا لم نضف لها شيئاً وبالتالي بقيت العبارة كما هي بدون تغيير في القيمة , إن هذا يمكن تشبيهه كأن يعطيك أحدهم أربعة أشياء ثم يأخذها ذاتها منك , إنه لم يعطك شيئاً في الحقيقة . 4) بإعادة كتابة العبارة السابقة بترتيب جديد تصبح : (16ب4 + 8ب2 + 1) ـ 4ب2 والعبارة داخل القوس مربع كامل يمكن كتابته على صورة : 16ب4 + 8ب2 + 1 = (4ب2 + 1)2 5) إذن تصبح عبارتنا : 16ب4 + 4ب2 + 1 = (4ب2 + 1)2 ـ 4ب2 والطرف الأيسر هو فرق بين مربعين يمكن تحليله بسهولة = (4ب2 + 1 ـ 2ب) (4ب2 + 1 + 2ب) وبإعادة الترتيب : = (4ب2 ـ 2ب+ 1)(4ب2 + 2ب + 1) تدعى هذه الطريقة طريقة إكمال المربع لأننا أضفنا حداً هو (4ب2) ( وطرحناه في مكان آخر بالطبع ) جعل العبارة التربيعية 16ب4 + 4ب2 + 1 تصبح مربعاً كاملاً هو 16ب4 + 8ب2 +1 مثال آخر : حلل العبارة التربيعية 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 تحليل السؤال حتى تكون العبارة مربعاً كاملاً يجب أن تكون على صورة : ولكن العبارة المعطاة هي 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 ويمكننا أن نكتبها على الشكل : 4س4 + 36س2 ع2 + 81ع4 بإضافة وطرح 76س2 ع2 لأن 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 = 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 + 76س2 ع2 ـ 76س2 ع2 = (4س4 + 36س2 ع2 + 81ع4 ) ـ 76س2 ع2 = (2س2 + 9ع2)2 ـ 76س2 ع2 ونظراً لعدم وجود جذر صحيح للعدد (76) فلن نعتبرها فرقاً بين مربعين ( ولكنها في الواقع كذلك ويمكن أو نكتبها على الشكل : 4س4 ـ 36 س2 ع2 + 81ع4 وما علينا في هذه الحالة إلا أن نقوم بإجراء بسيط وهو كتابة الحد ـ 40 س2 ع2 على صورة ـ 36س2 ع2 ـ 4 س2 ع2 إذن 4س4 ـ 40 س2 ع2 + 81ع4 = 4س4 ـ 36س2 ع2 + 81ع4 ـ 4س2 ع2 = (2س2 ـ 9ع2 )2 ـ 4س2 ع2 وهذا فرق بين مربعين كاملين يمكن تحليله بسهولة كما يلي . إذن 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 = (2س2 ـ 9ع2 ـ 2س ع)(2س2 ـ 9ع2 + 2س ع) وباعادة الترتيب : 4س4 ـ 40س2 ع2 + 81ع4 = (2س2 ـ 2س ع ـ 9ع2)(2س2 + 2 س ع ـ 9 ع2) |
#2
|
|||
|
|||
![]()
شكراً يا سجى على مساهمتك أتمنى أن ينتفع منها الجميع
|
#3
|
|||
|
|||
![]()
مرشي سجى :d:d:d:d:d:d:d:d
|
![]() |
أدوات الموضوع | |
انواع عرض الموضوع | |
|
|